有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。在选择装入背包的物品时，对于每种物品i，只能选择装包或不装包，不能装入多次，也不能部分装入，因此成为0-1背包问题。
形式化描述为：给定n个物品，背包容量C >0,重量 第i件物品的重量w[i]>0, 价值v[i] >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(X 1 ,X 2 ,…,X n ,), X i ∈{0,1}, 使得 ∑（w[i] Xi） ≤C,且∑ v[i] Xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
数学描述为：
求解最优值：
设最优值m(i,j)为背包容量为j、可选择物品为i，i+1，……，n时的最优值(装入包的最大价值)。所以原问题的解为 m(1，C)
将原问题分解为其子结构来求解。要求原问题的解m(1，C)，可从m(n，C)，m(n-1，C)，m(n-2，C)…..来依次求解，即可装包物品分别为（物品n）、（物品n-1，n）、（物品n-2，n-1，n）、……、（物品1，物品2，……物品n-1，物品n）。最后求出的值即为最优值m(1，C)。
若求m(i,j)，此时已经求出m(i+1,j)，即第i+1个物品放入和不放入时这二者的最大值。
对于此时背包剩余容量 j=0,1,2,3……C ，分两种情况：
(1)当 w[i] > j ，即第i个物品重量大于背包容量j时， m(i,j)=m(i+1,j)
(2)当 w[i] <= j ，即第i个物品重量不大于背包容量j时，这时要判断物品i放入和不放入对m的影响。
若 不放入物品i ，则此时m(i,j)=m(i+1,j)
若 放入物品i ，此时背包剩余容量为 j-w[i]，在子结构中已求出当容量k=0,1,2……C 时的最优值m(i+1,k)。所以此时m(i,j)=m(i+1,j-w[i])+v[i]。
取上述二者的最大值，即 m(i,j) = max{ m(i+1,j)，m(i+1,j-w[i])+v[i] }
总结得出状态转移方程为：
该算法的python代码实现：
# 0-1背包问题
__author__ = 'ice'
# 背包容量0~capacity,不是0~capacity-1
def knapsack(weight, value, capacity):
if len(weight) != len(value):
print("parameter err!")
return
obj_num = len(weight)
result = [[] for x in range(obj_num)]
divide = min(weight[-1], capacity)
result[-1] = [0 for x in range(divide)]
result[-1].extend(value[-1] for x in range(divide, capacity + 1))
for i in reversed(list(range(1, obj_num - 1))):
divide = min(weight[i], capacity)
for j in range(divide):
result[i].append(result[i + 1][j])
for j in range(divide, capacity + 1):
result[i].append(max(result[i + 1][j], result[i + 1][j - weight[i]] + value[i]))
result[0] = {capacity: result[1][capacity]}
if weight[0] <= capacity:
result[0][capacity] = max(result[1][capacity], result[1][capacity - weight[0]] + value[0])
vector = [0 for x in range(obj_num)]
capacity_temp = capacity
for i in range(obj_num - 1):
if result[i][capacity_temp] != result[i + 1][capacity_temp]:
vector[i] = 1
capacity_temp -= weight[i]
if capacity_temp == 0:
vector[-1] = 0
else:
vector[-1] = 1
return {'total_value': result[0][capacity], 'select': vector}
但是 ，但是！！该算法有两个明显的缺点：1，基于上述代码，因为数组索引的需要，要求所给物品重量为整数。2，当背包容量C很大时，算法所需计算时间较多。当C>2^n时，需要Ω(n*2^n)计算时间。
所以 ，所以！！改进算法如下：
对于函数m(i,j)的值，当i确定，j为自变量时，是单调不减的跳跃式增长，如图所示。而这些跳跃点取决于在（物品i，物品i+1，……物品n）中选择放入哪些物品使得在放入重量小于容量 j (0<=j<=C)的情况下m取得最大值。对于每一个确定的i值，都有一个对应的跳跃点集 P i ={ ( j , m(i,j) ) ，……}。j始终小于等于C
(1)开始求解时，先求 P i ，初始时P n+1 ={(0，0)}，i=n+1，由此按下列步骤计算P i-1 ，P i-2 ……P 1 ，即P n ，P n-1 ，……P 1
(2)求 Q i ，利用P i 求出m（i，j-w[i-1]）+v[i-1]，即P i 当放入物品i-1后的变化后的跳跃点集Q i ={ ( j+w[i-1], m(i,j)+v[i-1] ) ，……}，在函数图像上表现为所有跳跃点横轴坐标右移w[i-1]，纵轴坐标上移v[i-1]。
(3)求 P i-1 ，即求P i ∪Q i 然后再去掉 受控跳跃点 后的点集。此处有个 受控跳跃点 的概念：若点(a,b)，(c,d)∈Pi∪Qi，且a<=c，b>d，则(c,d)受控于(a,b)，所以(c,d)∉P i-1 。去掉受控跳跃点，是为了求得在物品i-1放入后m较大的点，即 使m取最优值的跳跃点。
由此计算得出P n ，P n-1 ，……，P 1 。求得P 1 的最后那个跳跃点即为所求的最优值m(1,C)。
举个栗子 ：
n=5，c=10，w={2，2，6，5，4}，v={6，3，5，4，6}。跳跃点的计算过程如下：
初始时 p[6]={(0,0)}
因此， q[6]=p[6]⊕(w[5],v[5])={(4,6)}
p[5]={(0,0),(4,6)}
q[5]=p[5]⊕(w[4],v[4])={(5,4),(9,10)}
p[4]={(0,0),(4,6),(9,10)} p[5]与q[5]的并集p[5]∪q[5]={(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)}中跳跃点(5,4)受控于跳跃点(4,6)。将受控跳跃点(5,4)清除后，得到p[4]
q[4]=p[4]⊕(6，5)={(6，5)，(10，11)}
p[3]={(0，0)，(4，6)，(9，10)，(10，11)}
q[3]=p[3]⊕(2，3)={(2，3)，(6，9)}
p[2]={(0，0)，(2，3)，(4，6)，(6，9)，(9，10)，(10，11)}
q[2]=p[2]⊕(2，6)={(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)}
p[1]={(0，0)，(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)}
p[1]的最后的那个跳跃点(8,15)即为所求的最优值，m(1,C)=15
最后，python代码的实现：
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x = x
self.y = y
# 0-1背包问题 改进
def knapsack_improve(weight, value, capacity):
if len(weight) != len(value):
print("parameter err!")
return
obj_num = len(weight)
jump_points_p = [[] for x in range(obj_num)]
jump_points_q = [[] for x in range(obj_num)]
jump_points_p.append([Point(0, 0)])
jump_points_q.append([Point(weight[obj_num - 1], value[obj_num - 1])])
for i in reversed(list(range(1, obj_num))):
jump_points_p[i] = merge_points(jump_points_p[i + 1], jump_points_q[i + 1])
jump_points_q[i] = [Point(point.x + weight[i - 1], point.y + value[i - 1]) for point in jump_points_p[i] if
point.x + weight[i - 1] <= capacity]
result = merge_points(jump_points_p[1], jump_points_q[1])
return result
def merge_points(points_x, points_y):
x_len = len(points_x)
y_len = len(points_y)
merged_points = []
i = j = 0
while True:
if i == x_len or j == y_len:
break
if points_x[i].x < points_y[j].x:
merged_points.append(points_x[i])
if points_x[i].y >= points_y[j].y:
j += 1
i += 1
else:
merged_points.append(points_y[j])
if points_y[j].y >= points_x[i].y:
i += 1
j += 1
while i < x_len:
if points_x[i].x > merged_points[-1].x and points_x[i].y > merged_points[-1].y:
merged_points.append(points_x[i])
i += 1
while j < y_len:
if points_y[j].x > merged_points[-1].x and points_y[j].y > merged_points[-1].y:
merged_points.append(points_y[j])
j += 1
return merged_points
result = knapsack_improve([2, 2, 6, 5, 4], [6, 3, 5, 4, 6], 10)
print()
for point in result:
print('(' + str(point.x) + ',' + str(point.y) + ')', end=' ')
#(0,0) (2,6) (4,9) (6,12) (8,15)
